Primeira Lista de Exercícios : Problema 7

Segue solução do problema 7 da primeira lista de exercícios.

Problema 7  Uma sequência  infinita de termo geral dado por

 $a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$

(a) Escreva os quatro primeiros termos da  sequência.

(b) Determine as constantes $a$ e $b$ tais que, para todo $n\in\mathbb{N}$

                                                          $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{n+1}.$

(c) Dê a fórmula da soma dos $n$ primeiros temos dessa sequência, em função de $n$.

Solução : 

(a) Basta substituir os valores de $1,2,3$ e $4$ na sequência.

(b) Tirando o mmc de $n$ e $n+1$ ficamos com $mmc(n,n+1)=n(n+1)$. Daí, 

$ \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{a(n+1)+bn}{n(n+1)}  $

ou seja,

$1=(a+b)n+a$

comparando os polinômios temos que $a=1\quad \mbox{e}\quad a+b=0\Rightarrow b=-1$.

Portanto, 

$ \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}  .$

(c)  Temos do item (b) que, 

$ a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}  .$

Daí, para:

$n=1$  :    $ \dfrac{1}{2}=1 -\dfrac{1}{2}  $

$n=2$ :      $ \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3}  $

$n=3$ :      $ \dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4}  $

$n=4$ :      $ \dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{5}  $

$ \vdots $                     $\vdots$

                $ \dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n}  $

                 $ \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1} $

Somando, ordenadamente, temos 

     

  $ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6} +\ldots +\dfrac{1}{n(n+1)}=1-\dfrac{1}{n+1}$ 

Portanto, temos que $S_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Obs.: Use a mesma ideia do item (c)  para resolver o Problema 8.