Primeira Lista de Exercícios : Problema 12

Segue solução do problema 12 da primeira lista de exercícios.

Problema 12 Quatro números constituem  uma progressão aritmética. A sua soma vale $24$ e a soma de seus quadrados vale $164$. Determine o maior valores deles.

Solução:  Para uma PA de quatro temos usaremos a seguinte notação especial:

$PA(x-3y,x-y,x+y,x+3y)\quad\mbox{com}\quad y=2r   $

Como a soma do quatro termos é $24$, temos

$(x-3y)+(x-y)+(x+y)+(x+3y)=24\Rightarrow x=6  $

e, como a soma de seus quadrado vale $164$,temos 

$(6-3y)^2+(6-y)^2+(6+y)^2+(6+3y)^2=164 $

após resolvemos os quadrados e somarmos os termos semelhantes ficamos com,

$20y^2+144=164\Rightarrow y=\pm 1 $

Para $y=-1$ temos a seguinte $PA(9,7,5,3)$, e para $y=1$ temos $PA(3,5,7,9)$ é maior termo é $9$.

Obs.: Use a mesma notação para resolver o Problema 14.

Primeira Lista de Exercícios : Problema 7

Segue solução do problema 7 da primeira lista de exercícios.

Problema 7  Uma sequência  infinita de termo geral dado por

 $a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$

(a) Escreva os quatro primeiros termos da  sequência.

(b) Determine as constantes $a$ e $b$ tais que, para todo $n\in\mathbb{N}$

                                                          $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{n+1}.$

(c) Dê a fórmula da soma dos $n$ primeiros temos dessa sequência, em função de $n$.

Solução : 

(a) Basta substituir os valores de $1,2,3$ e $4$ na sequência.

(b) Tirando o mmc de $n$ e $n+1$ ficamos com $mmc(n,n+1)=n(n+1)$. Daí, 

$ \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{a(n+1)+bn}{n(n+1)}  $

ou seja,

$1=(a+b)n+a$

comparando os polinômios temos que $a=1\quad \mbox{e}\quad a+b=0\Rightarrow b=-1$.

Portanto, 

$ \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}  .$

(c)  Temos do item (b) que, 

$ a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}  .$

Daí, para:

$n=1$  :    $ \dfrac{1}{2}=1 -\dfrac{1}{2}  $

$n=2$ :      $ \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3}  $

$n=3$ :      $ \dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4}  $

$n=4$ :      $ \dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{5}  $

$ \vdots $                     $\vdots$

                $ \dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n}  $

                 $ \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1} $

Somando, ordenadamente, temos 

     

  $ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6} +\ldots +\dfrac{1}{n(n+1)}=1-\dfrac{1}{n+1}$ 

Portanto, temos que $S_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Obs.: Use a mesma ideia do item (c)  para resolver o Problema 8.

Princípio Fundamental da Contagem - Parte III

Exercício 7  Em cada um dos vértice de um quadrado são colocados duas lâmpadas de duas cores: vermelha e branca. De quantos modos podemos iluminar os quatro vértices de forma que em cada vértice haja somente uma lâmpada acesa?

Solução :  Para vértice $A$ temos $2$ possibilidades, $V$ ou $B$. Para o vértice  $B$, temos também $2$ possibilidades  $V$ ou $B$. O mesmo ocorre para os vértices $C$ e $D$. Assim , aplicando o PFC, temos, $2 \times 2 \times 2 \times 2= 16$  modos de iluminar os quatro vértices.

Exercício 8 (FUVEST) Maria deve criar uma senha de $4$ dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos $1,2,3,4,5$ podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número $13$, isto é, o algarismo $1$ seguido imediatamente pelo algarismo $3$. De quantas maneiras distintas Maria pode  escolher sua senha?

$\mbox{(a)}\ 551 \quad \mbox{(b)}\ 552 \quad \mbox{(c)}\ 553 \quad \mbox{(d)}\ 554 \quad \mbox{(e)}\ 555 \quad    $

Exercício 9 (VUNESP) Uma rede de supermercado fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação e formada por $3$ letras distintas(dentre $26$), seguidas de $4$ algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm {\bf L} como terceira letra, o últumo algarismo é zero e o penúltimo é $1$. A quantidade total de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é:

$\mbox{(a)}\ 33600 \quad \mbox{(b)}\ 37800 \quad \mbox{(c)}\ 43200\quad \mbox{(d)}\ 58500 \quad \mbox{(e)}\ 67600 \quad    $

Exercício 10 (Mack-2000) Considere todos os números de $3$ algarismos formados com os algarismos $1,2,3,5,7$ e $9$. Dentre eles, a quantidade de números pares com exatamente $2$ algarismos iguais é:

$\mbox{(a)}\ 17 \quad \mbox{(b)}\ 18  \quad \mbox{(c)}\ 15 \quad \mbox{(d)}\ 22 \quad \mbox{(e)}\ 24 \quad    $

Princípio Fundamental da Contagem - Parte II

Exercício 5 -   ( UFRN) Um fenômeno raro em termos de data ocorreu às $20h02min$ de $20$ de fevereiro de $2002$. No caso, $20:02$ $20/02/2002$ forma uma sequência de algarismos que permanece inalterada se reescrita de trás para a frente. A isso denominamos capicua. Desconsiderando as capicuas começadas por zero, qual a quantidade de capicuas formadas com cinco algarismos não necessariamente diferentes ?

Solução : O primeiro algarismo não pode ser zero. Portanto, são $9$ opções. Ao definir o primeiro, para o último só resta uma opção: igual a primeiro. Para o segundo algarismo são $10$ opções, e fixa uma única opção para o quarto. Para o $3^o$, $10$ opções mais uma vez.

Exercício 6 -  Um edifício tem $8$ portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?

Solução : Temos $8$ possibilidades para entrar no edifício. Escolhendo-se uma das portas para entrar, ficamos com $7$ possibilidades para sair, já que não podemos que sair pela porta que entramos no edifício. Logo, pelo princípio fundamental da contagem, temos

$$ 8\times 7=56\quad\mbox{possibilidades}\quad .$$

Princípio Fundamental da Contagem - Parte I

Estou postando alguns exercícios resolvido sobre o Princípio Fundamental da Contagem(PFC).

Exercício 1 Quantos números de quatro e de cinco algarismos maiores que $2000$ podem ser formados com os algarismos $0,1,3,5$ e $7$?

Solução: Seja $x$ a quantidade de números de $4$ e $5$ algarismos maiores que $2000$. Primeiro, vamos a quantidade de números de $4$ algarismos,

Para a posição $p_1$ temos $3$ possibilidades, estamos excluindo o $0$(não começamos números de $4$ algarismos por zero) e o $1$(estamos interessados nos números maiores que $2000$); para as posições $p_2,p_2$ e $p_4$ temos $5$ possibilidades cada. Assim, pelo princípio fundamental da contagem, temos
$$ 3\times 5\times 5\times 5=375  $$
Agora, vamos calcular a quantidade de números de cinco algarismos;

 

Para a posição $p_1$ temos $4$ possibilidades, estamos excluindo o $0$(zero). Para as posições $p_2,p_3,p_4$ e $p_5$ temos $5$ possibilidades para cada uma. Assim, pelo  PFC, temos

$$ 4\times 5\times 5\times 5\times 5 =2500  $$
Logo, são $x=375+2500=2875$ números de $4$ e $5$ algarismos maiores que $2000$

Exercício 2 No sistema de base $b$, quantos números existem, tendo $k$ algarismos?
Solução:   Um sistema de base $b$ tem $b$ algarismos. Assim,

 Para a posição $p_1$ temos $(b-1)$ possibilidades, estamos excluindo o elemento neutro do sistema de base. Para as posições $p_2,p_3,\ldots ,p_k$ têm $b$ possibilidades cada. Assim, aplicando o  PFC, temos
$$(b-1)\cdot \underbrace{ b\cdot b \cdot b \cdot \ldots\cdot b}_{(k-1)-\mbox{fatores}} =(b-1)\cdot b^{k-1}   $$
Logo, a base $b$ tem $(b-1)\cdot b^{k-1}$ números com $k$ algarismos.

Exercício 3 Quantos números de três algarismos , sem repetição, podem ser formados a partir dos algarismos $1,2,3,4$ e $5$, de modo que algarismo do meio seja $3$?

Solução :

Fixando o $3$ na posição $p_2$ , temos para a posição $p_1$ $4$ possibilidades . Escolhido um algarismo para a posição $p_1$, ficamos com $3$ possibilidades para a posição $p_3$ . Logo , pelo princípio fundamental da contagem temos: $4 \times 3 = 12$.

Exercício 4  Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos $0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7, 8$ e $9$ ?
Solução : Vamos dividir a solução em dois casos:

Primeiro caso :pares terminados por zero.

Neste caso o zero deve ocupar a posição $p_3$. Assim temos $9$ e $8$ possibilidades, respectivamente , para as posições $p_1$ e $p_2$. Assim , pelo PFC, temos $9\times  8= 72$, números de três algarismos distintos terminados por zero.

Segundo Caso :  pares não terminados por zero.

Temos $4$ possibilidades para $p_3$( $2, 4, 6$ ou $8$). Para a posição $p_1$ temos $8$ possibilidades , estamos excluindo o zero e o algarismo usado em $p_3$. Para a posição $p_2$ também temos $8$ possibilidades ( o zero pode ocupar essa posição). Pelo PFC , temos: $4 \times 8 \times 8= 256$.

Logo , são $72 + 256 = 328$ números.