Estou postando alguns exercícios resolvido sobre o Princípio Fundamental da Contagem(PFC).
Exercício 1 Quantos números de quatro e de cinco algarismos maiores que $2000$ podem ser formados com os algarismos $0,1,3,5$ e $7$?
Solução: Seja $x$ a quantidade de números de $4$ e $5$ algarismos maiores que $2000$. Primeiro, vamos a quantidade de números de $4$ algarismos,
Para a posição $p_1$ temos $3$ possibilidades, estamos excluindo o $0$(não começamos números de $4$ algarismos por zero) e o $1$(estamos interessados nos números maiores que $2000$); para as posições $p_2,p_2$ e $p_4$ temos $5$ possibilidades cada. Assim, pelo princípio fundamental da contagem, temos
$$ 3\times 5\times 5\times 5=375 $$
Agora, vamos calcular a quantidade de números de cinco algarismos;
Para a posição $p_1$ temos $4$ possibilidades, estamos excluindo o $0$(zero). Para as posições $p_2,p_3,p_4$ e $p_5$ temos $5$ possibilidades para cada uma. Assim, pelo PFC, temos
$$ 4\times 5\times 5\times 5\times 5 =2500 $$
Logo, são $x=375+2500=2875$ números de $4$ e $5$ algarismos maiores que $2000$
Exercício 2 No sistema de base $b$, quantos números existem, tendo $k$ algarismos?
Solução: Um sistema de base $b$ tem $b$ algarismos. Assim,
Para a posição $p_1$ temos $(b-1)$ possibilidades, estamos excluindo o elemento neutro do sistema de base. Para as posições $p_2,p_3,\ldots ,p_k$ têm $b$ possibilidades cada. Assim, aplicando o
PFC, temos
$$(b-1)\cdot \underbrace{ b\cdot b \cdot b \cdot \ldots\cdot b}_{(k-1)-\mbox{fatores}} =(b-1)\cdot b^{k-1} $$
Logo, a base $b$ tem $(b-1)\cdot b^{k-1}$ números com $k$ algarismos.
Exercício 3
Quantos números de três algarismos , sem repetição, podem ser
formados a partir dos algarismos $1,2,3,4$ e $5$, de modo que
algarismo do meio seja $3$?
Solução :
Fixando
o $3$ na posição $p_2$ , temos para a posição $p_1$ $4$
possibilidades . Escolhido um algarismo para a posição $p_1$,
ficamos com $3$ possibilidades para a posição $p_3$ . Logo , pelo
princípio fundamental da contagem temos: $4 \times 3 = 12$.
Exercício 4 Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos $0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7, 8$ e $9$ ?
Solução : Vamos dividir a solução em dois casos:
Primeiro caso :pares terminados por zero.
Neste caso o zero deve ocupar a posição $p_3$. Assim temos $9$ e $8$ possibilidades, respectivamente , para as posições $p_1$ e $p_2$. Assim , pelo PFC, temos $9\times 8= 72$, números de três algarismos distintos terminados por zero.
Segundo Caso : pares não terminados por zero.
Temos $4$ possibilidades para $p_3$( $2, 4, 6$ ou $8$). Para a posição $p_1$ temos $8$ possibilidades , estamos excluindo o zero e o algarismo usado em $p_3$. Para a posição $p_2$ também temos $8$ possibilidades ( o zero pode ocupar essa posição). Pelo PFC , temos: $4 \times 8 \times 8= 256$.
Logo , são $72 + 256 = 328$ números.
